Microsoft Research 研究员与合作者证明悬而未决 31 年的 KLS 猜想

Microsoft 研究员与合作者将新的数学思想与人类主导的 AI 相结合，解决高维几何与概率论中的一个核心问题

要点速览

• 基础科学突破：研究人员解决了 Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想。这一已有 31 年历史的问题被广泛视为高维几何中最核心的开放问题之一，对统计学、优化、算法和计算机科学均有重要影响。
• 普适的几何原理：这一结果为对数凹分布确立了一条普适的几何原理，表明无论维度如何，简单的平面切割都能在固定因子范围内捕捉到这类分布最狭窄的瓶颈。 
• 人类与 AI 协作：这一突破源于人类主导的智能体式研究过程：AI 系统探索数学上的可能性，研究人员则对搜索进行评估、剪枝并调整方向。
• 独立确认：多位独立研究人员已验证这项研究，并认定其核心判据是关键突破，随后又通过了机器检查的形式化验证。 

几十年来，关于高维空间中计算难度的一个基本问题始终未能得到证明。新研究解决了这一问题，消除了理解科学与计算领域广泛使用的随机化算法效率的一大理论障碍。

Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想于 1995 年提出。它探讨的是：对于一大类高维概率分布，最佳平面或超平面切割是否总能达到与任意形状的最佳切割几乎相同的效果。更准确地说，KLS 猜想预测，无论维度多少，两者之间的差距都不会超过一个普适常数。这将确立一条与维度无关的几何原理，对高维几何、概率论和理论计算机科学产生重要影响。由于这些切割的几何特征决定了随机游走探索一个分布的速度，KLS 猜想在高维采样理论中也发挥着核心作用。

自 1995 年以来，数学家不断积累支持这一猜想成立的证据，但完整的证明始终未能找到。如今，包括 Microsoft Research 机器学习与优化组的 Xinzhi Zhang 在内的两位研究人员已经证明了 KLS 猜想（在新标签页中打开）。他们证明，无论一个形状有多少维，这一关系都在一个固定界限内成立。在这项工作之前，2026 年 7 月确立的已知最佳结果（在新标签页中打开）允许该界限随着维度增加而缓慢增长。这项工作确立了一条基本的几何原理：高维空间的性质比此前已知的更好，在其中探索所面临的障碍不会随着维度增加而无限增长。 

早在 KLS 猜想得到解决之前，其重要性就已获得整个领域的认可。数学科学研究所（MSRI）（在新标签页中打开）在其 2017-18 年度报告中称其为“高维凸几何中的一个核心未解问题”。Simons Institute（在新标签页中打开）将其描述为“凸几何中最重要的未解问题之一”。在2022 国际数学家大会（ICM）（在新标签页中打开）的会议论文集中，Ronen Eldan 指出了它对高维凸几何和计算几何的广泛影响。Quanta Magazine（在新标签页中打开）写道，KLS 猜想“处于统计学和计算机科学中诸多问题的核心”。

技术细节

作者首先改进了 2026 年 7 月的结果，以使数学界限更加精确。他们在一个结构化、由人类主导的流程中与 AI 智能体合作，探索了超过 100 种候选方法，其中许多涉及对高阶张量的冗长计算。由此产生了一个新的数学判据，成为最终证明的基础。

随后，作者发现这一新判据可以递归应用。每个改进后的界限都可以反馈到同一论证中，从而得到更严格的界限。在论文的 2026 年 10 月 1 日版本中，这使界限对维度的依赖降至迭代对数级别。这个函数增长极其缓慢，但仍会随维度增长，因此尚未完全解决该猜想。

最后一步是反复执行整个递归细化过程，而不是仅应用一次。这一思路受到作者此前关于线性规划快速算法研究的启发。作者证明，每个阶段引入的微小误差都衰减得足够快，使其总和始终不超过一个与维度无关的普适常数。这消除了对维数的依赖，并在论文的 2026 年 10 月 4 日版本中完成了证明。

递归方法、对该方法的反复应用，以及对累积误差保持有界的证明，都是研究人员的原创贡献。AI 工具帮助探索候选方法、进行详细推导、准备论文稿件，并开展内部证明检查。研究人员确定数学研究方向，筛选有前景的思路，将其整合为最终论证，并验证证明。

独立确认

就在作者发布完整证明的同一天，另一个由顶尖专家组成的团队发布了一份完整证明（在新标签页中打开），这是他们同期独立开展研究得到的成果。他们的工作建立在 Microsoft 论文首个版本（在新标签页中打开）的研究结果之上，并称其为“证明中的关键一步”。同一天另行发表的第三份证明（在新标签页中打开）依赖于一个密切相关的思路。此外，随后还发布了一份Lean 4 形式化证明（在新标签页中打开），将 Microsoft 首篇论文中的关键判据与其他研究相结合。 

独立证明是数学中最有力的验证形式之一，因为它们表明，一个结果并不依赖于单一的推理链。随后出现的其他方法和形式化验证进一步增强了人们的信心，表明该领域揭示的是一个真正的底层原理，而非一个脆弱的技术性论证。作者们还缩短了证明，并在 Lean 中验证了这一精简后的论证；他们计划在最终审查后公布二者。这些进展共同提供了相互补充的确认方式。

人类对 AI 的引导

在证明 KLS 猜想的过程中，这项研究也展示了由研究人员引导 AI 的强大作用，而不是仅仅让前沿模型或智能体通过一次端到端运行来解决复杂问题。作者们采用了一种智能体搜索流程，通过人类辅助进行迭代式“剪枝”：当多个智能体并行探索某个想法的不同变体时，研究人员检查它们的中间结果，排除前景不佳的方向，并将最有希望的结果传递到下一轮。在关键突破出现之前，他们探索了大约一百条研究路径。 

在该项目另一条独立的研究路线上，作者们使用几个领先的 AI 模型，在不加引导的情况下反复尝试解决同一问题，所用的总 token 预算与主要流程大致相同。这一尝试未能达到目标。最终的成功既依赖于 AI 系统的能力，也依赖于研究人员的数学判断。 

结论

总的来说，KLS 猜想的解决为高维几何中的一个核心问题画上了句号。此前以该猜想为前提的大量结果，如今都可以无条件地表述。因此，这一证明为凸几何、概率论和理论计算机科学的研究提供了更坚实的基础。

这项工作还展示了，经过精心引导的人类与 AI 协作如何在强化而非取代人类洞见的同时，为真正的科学发现作出贡献。它凸显了科学判断在识别有希望的方向、发现概念之间的联系，以及看出局部洞见何时指向更深层次的结果方面的持续重要性。作者们目前正在简化证明并扩展其形式化验证，以便数学和理论计算机科学界能够更容易地审查这一结果，并在此基础上开展研究。

致谢 

感谢我们的合著者 Zhao Song 对这项工作的贡献，也感谢 Victor Reis（在新标签页中打开） 和 Ishai Menache 在整个项目期间进行的有益讨论。 

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文章《解决一个历时 31 年的数学重大挑战——KLS 猜想》最先发表于 Microsoft Research。